Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，(2

a

-3

b

)•(2

a

+

b

)=61，
（1）求

a

与

b

的夹角θ；
（2）若

c

=(1，2)，且

a

⊥

c

，试求

a

．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的运算律展开，利用向量的数量积公式将式子用向量的模、夹角表示，求出夹角．
（2）设出

a

的坐标；利用向量模的坐标公式及向量垂直的充要条件列出方程组，求出

a

．

解答：解：（1）∵(2

a

-3

b

)•(2

a

+

b

)=4

a

2-4

a

•

b

-3

b

2=4×16-4×4×3×cosθ-3×9=61，
∴cosθ=-

1

2

，（4分）
∴θ=120°．（6分）
（2）设

a

=(x，y)，则

x2+y2=42 x+2y=0

，解得

x=- 8 5 5 y= 4 5 5

或

x= 8 5 5 y=- 4 5 5

．（10分）
所以，

a

=(-

8 5

5

，

4 5

5

)或(

8 5

5

，-

4 5

5

)．（12分）

点评：本题考查向量的数量积公式及数量积的运算律、考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件．