Question

在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a*b=b*a；②对任意a∈R，a*1=a；
③对任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，
则函数f （x）=x*

1

x

（x＞0）的最小值为

1

．

Answer 1

分析：根据题目给出的新定义，写出函数f(x)=x*

1

x

的解析式，然后运用基本不等式求最值．

解答：解：根据定义的运算性质得：
f(x)=x*

1

x

=(x*

1

x

)*1=1*(x•

1

x

)+(x*1)+(

1

x

*1)-2×1=x+

1

x

-1
因为x＞0，由均值不等式得f（x）=x+

1

x

-1≥2

x• 1 x

-1=1（当且仅当x=1时取“=”），
即f（x）的最小值为1．
故答案为1．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．