Question

13．已知函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）通过函数的单调性，然后求解闭区间的函数的最值即可．

解答 解：（1）f（x）在[1，+∞）上是增函数．             …．（1分）
证明如下：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，那么$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2{x_1}+1}}{{{x_1}+1}}-\frac{{2{x_2}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}+{x_2}+2{x_1}+1-2{x_1}{x_2}-2{x_2}-{x_1}-1}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$=$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$…..（5分）
因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
又x₁≥1，x₂≥1所以x₁+1＞0，x₂+1＞0
所以$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$…..（7分）
即f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．                  …..（8分）
（2）因为[1，3]⊆[1，+∞）且f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以f（x）在[1，3]上是增函数，
则$f{（x）_{max}}=f（3）=\frac{7}{4}，f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断与证明，单调性的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．