Question

16．已知函数g（x）=acos（$\frac{π}{6}$-x），f（x）=g（x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1（a∈R）．
（1）若x∈[-$\frac{π}{3}$，0]，求函数g（x）的最大值；
（2）若x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函数的最值求解就．
（2）通过同角三角函数的基本关系式化简表达式，然后利用二次函数闭区间是的最值求解最值．注意a的讨论．

解答 解：（1）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，0]，
∴$\frac{π}{6}$-x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
∴cos（$\frac{π}{6}$-x）∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴当a＞0时，函数g（x）的最大值为：$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
当a≤0时，函数g（x）的最大值为：0．
（2）∵x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=g（x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）+2cos²（x+$\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）+2sin²（$\frac{π}{2}$-x$-\frac{π}{3}$）+1
=acos（$\frac{π}{6}$-x）-2cos²（$\frac{π}{6}$-x）+3，
令t=cos（$\frac{π}{6}$-x），
可得f（x）=at-2t²+3=-2（t-$\frac{a}{4}$）²+$\frac{{a}^{2}}{8}$+3，t∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
当$\frac{a}{4}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a＞2$\sqrt{3}$时，t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，最大值为：$\frac{3+\sqrt{3}a}{2}$．
当$\frac{a}{4}$∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，即0≤a≤2$\sqrt{3}$，t=$\frac{a}{4}$时，最大值为：$\frac{{a}^{2}}{8}$+3．
当$\frac{a}{4}$＜0时，即a＜0，t=0时，最大值为：3．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，换元法以及二次函数闭区间上的最值的求法，考查分类讨论转化是的应用．