Question

13．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上任一点，那点P到直线l：x+2y-12=0的距离的最小值为$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值．

解答 解：设点P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα）（0≤α≤2π），
则点P到直线x+2y-12=0的距离为d=$\frac{|2cosα+2\sqrt{3}sinα-12|}{\sqrt{5}}$
=$\frac{|4sin（α+30°）-12|}{\sqrt{5}}$
当sin（α+30°）=1时，d取得最小值，且为$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题．