Question

5．设a∈R，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，g（x）=lnx；
（1）若f（0）=1，试判断y=f[g（x）]在[e，+∞）上的单调性（无需证明）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设h（x）=2x²+（3a-2）x-（5a²-7a-3），且x∈（a，+∞），求不等式f（x）＞h（x）的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1求出a=-1，从而f（x）=3x²+2x+1，设t=g（x）=lnx，从而函数f[g（x）]是由f（t）和t=lnx复合而成的复合函数，容易说明t=lnx，y=f（t）分别在其定义域[e，+∞），[1，+∞）上单调递增，从而得出函数y=f[g（x）]在[e，+∞）上是增函数；
（2）去绝对值号得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{a}{3}）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}}&{x≥a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$，讨论a≥0和a＜0两种情况，然后根据二次函数求最小值，分别求每种情况下x≥a，x＜a两段函数上f（x）的最小值，通过比较大小，这样即可求出每种情况下函数f（x）的最小值；
（3）设G（x）=f（x）-h（x）=[x-（2a-3）][x-（3a+1）]，x∈（a，+∞），从而看出G（x）=0有两个实数根x=2a-3，和x=3a+1，要解G（x）＞0，从而需比较2a-3和3a+1的大小，从而分2a-3＜3a+1，2a-3＞3a+1，和2a-3=3a+1三种情况对a的取值进行讨论，并且在每种情况下2a-3，3a+1和a进行比较，从而写出G（x）＞0即f（x）＞g（x）的解．

解答 解：（1）若f（0）=-a|-a|=1，则a=-1；
∴在[e，+∞）上，f（x）=2x²+（x+1）²=3x²+2x+1；
对于函数y=f[g（x）]，设t=g（x）=lnx，t≥1；
∴f（t）=3t²+2t+1，t≥1；
而t=lnx在[e，+∞）上单调递增，f（t）在[1，+∞）上单调递增；
∴复合函数y=f[g（x）]在[e，+∞）上单调递增；
（2）记f（x）的最小值为F（a）；
f（x）=2x²+（x-a）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{a}{3}）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}}&{x≥a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$；
①当a≥0时，1）若x≥a，f（x）在[a，+∞）上单调递增，∴此时f（x）的最小值为f（a）=2a²；
2）若x＜a，x=-a时，f（x）取最小值f（-a）=-2a²；
∴F（a）=-2a²；
②当a＜0时，1）若x≥a，f（x）的最小值为$f（\frac{a}{3}）=\frac{2}{3}{a}^{2}$；
2）若x＜a，f（x）在（-∞，a）上单调递减，∴此时f（x）＞f（a）=2a²；
∴$F（a）=\frac{2}{3}{a}^{2}$；
综上得F（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}}&{a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}}&{a＜0}\end{array}\right.$；
（3）设G（x）=f（x）-h（x）=2x²+（x-a）²-2x²-（3a-2）x+（5a²-7a-3）
=x²-（5a-2）x+（6a²-7a-3），x∈（a，+∞）；
△=（a+4）²≥0，G（x）=[x-（2a-3）][x-（3a+1）]，x∈（a，+∞）；
∴①若2a-3＜3a+1，即a＞-4；
解G（x）＞0得，x＜2a-3，或x＞3a+1；
1）若3a+1＜a，即a$＜-\frac{1}{2}$，则G（x）＞0的解为x＞a；
即$-4＜a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）＞h（x）的解为x＞a；
2）若3a+1≥a，且2a-3＜a，即$-\frac{1}{2}≤a＜3$，解G（x）＞0得x＞3a+1；
∴f（x）＞g（x）的解为x＞3a+1；
3）若2a-3≥a，即a≥3，解G（x）＞0得a＜x＜2a-3，或x＞3a+1；
∴f（x）＞g（x）的解为a＜x＜2a-3，或x＞3a+1；
②若2a-3＞3a+1，即a＜-4，2a-3-a=a-3＜0；
∴f（x）＞g（x）的解为x＞a；
③若2a-3=3a+1，即a=-4；
∴f（x）＞g（x）的解为x＞a；
综上得，1）$a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）＞h（x）的解集为（a，+∞）；
2）$-\frac{1}{2}≤a＜3$时，f（x）＞h（x）的解集为（3a+1，+∞）；
3）a≥3时，f（x）＞h（x）的解集为（a，2a-3）∪（3a，+1）．

点评 考查对数函数，二次函数的单调性，以及复合函数单调性的判断方法，二次函数最值、分段函数最值的求法，以及解一元二次不等式的方法．