Question

20．正四面体A-BCD的顶点都在一个球面上，E，F分别是AB，BC的中点，直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，则该球的表面积为（　　）

• A． 21π
• B． 18π
• C． 12π
• D． 9π

Answer 1

分析 将正四面体A-BCD扩充为正方体，设正方体的棱长为2a，则正四面体A-BCD的棱长为2$\sqrt{2}$a，外接球的半径为$\sqrt{3}$a，球心到EF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，建立方程，求出外接球的半径，即可求出该球的表面积．

解答 解：将正四面体A-BCD扩充为正方体，设正方体的棱长为2a，则正四面体A-BCD的棱长为2$\sqrt{2}$a，外接球的半径为$\sqrt{3}$a，球心到EF的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵直线EF被球面所截得的线段长为$\sqrt{15}$，
∴（$\sqrt{3}$a）²=（$\frac{\sqrt{15}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$a²，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴外接球的半径为$\sqrt{3}$a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴该球的表面积为4π×$（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}$=18π．
故选：B．

点评 本题考查求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．