Question

10．已知点A（$\frac{π}{8}$，f（$\frac{π}{8}$））和直线x=$\frac{3π}{8}$分别是函数f（x）=2$\sqrt{2}$sin?xsin（?x+$\frac{π}{4}$）（?＞0）相邻的一个对称中心和一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移φ个单位得到函数g（x）的图象，若当x=$\frac{π}{3}$时，g（x）取最大值，则g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上单调增区间为[-$\frac{π}{6}$，0]．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上单调增区间．

解答 解：由题意可得$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$，∴ω=1，
∴f（x）=2$\sqrt{2}$sinxsin（x+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sinx（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故将函数f（x）的图象向右平移φ个单位得到
函数g（x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x-φ）-$\frac{π}{4}$]=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-2φ-$\frac{π}{4}$）的图象．
由于当x=$\frac{π}{3}$时，g（x）取最大值，即 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{2π}{3}$-2φ-$\frac{π}{4}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2π}{3}$-2φ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得φ=-kπ-$\frac{π}{24}$，k∈z，
故可取φ=-$\frac{π}{24}$，g（x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数g（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
再结合x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得g（x）的增区间为[-$\frac{π}{6}$，0]，
故答案为：[-$\frac{π}{6}$，0]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．