Question

5．过焦点为F的抛物线y²=4x上一点P向其准线作垂线，垂足为Q，若∠QPF=120°，则|PF|=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 通过设P（m，n）（不妨令m、n均为正数），利用△QPF为等腰三角形及锐角三角函数的定义计算即得结论．

解答 解：由题可知：抛物线y²=4x的焦点为：F（1，0），
抛物线y²=4x的准线方程为：x=-1，
不妨设P（m，n）（m、n均为正数），则4m=n²，
∴|PQ|=1+m，|FQ|=$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$，
由抛物线的定义可知：|PF|=|PQ|=1+m，
∴△QPF为等腰三角形，
又∠QPF=120°，∴$\frac{1}{2}$|FQ|=|PF|sin60°，
即$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+m），
化简得：3m²+2m-1=0，
解得：m=$\frac{-2±\sqrt{4+12}}{6}$，即m=$\frac{1}{3}$或0（舍），
∴|PF|=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题以抛物线为载体，考查求线段长度，注意解题方法的积累，属于中档题．