Question

17．已知正项等比数列{a_n}，a₁=3，a₃=27，b_n=log₃a_n，S_n是数列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n项和，则S₁₀=$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由于a₁=3，a₃=27，可得27=3q²，解得q．可得a_n．可得b_n=log₃a_n=n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₁=3，a₃=27，∴27=3q²，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∴b_n=log₃a_n=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∴S₁₀=$\frac{10}{11}$．
故答案为：$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．