Question

7．已知F₁，F₂为椭圆的左右焦点，点P（1，$\frac{3}{2}$）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点为点（1，$\frac{1}{2}$），若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由？
（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时，OA⊥OB（O为坐标原点）？

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆的定义可得2a=4，点P代入椭圆方程，解方程可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得直线的斜率，进而得到直线方程；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程即可得到k．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，即有a=2，
点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，即有$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，即有b=$\sqrt{3}$，
则所求椭圆方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴，
设l方程$y-\frac{1}{2}=k（x-1）$代入椭圆方程，
可得（3+4k²）x²+8k（$\frac{1}{2}$-k）x+4（k-$\frac{1}{2}$）²-12=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），有$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=1$，
得  $\frac{{8k（k-\frac{1}{2}）}}{{3+4{k^2}}}=2，得，k=-\frac{3}{2}$，
又∵点C（1，$\frac{1}{2}$）在椭圆内部，故所求直线l方程 $y=-\frac{3}{2}x+2$；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，化简得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB∴x₁•x₂+y₁y₂=0，
又${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$，
∴$（1+{k^2}）\frac{4}{{3+4{k^2}}}+2k•\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}+4=0$，
解得：${k^2}=\frac{4}{3}$，∴$k=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
经检验满足△＞0，
∴当$k=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，OA⊥OB．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查直线垂直的条件，属于中档题．