Question

6．在区间（0，π）上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx＞1”发生的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx＞1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答 解：由sinx+cosx＞1得$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞1，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$+2kπ＜x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
即2kπ＜x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0≤x≤π，
∴当k=0时，x的取值范围是0＜x＜$\frac{π}{2}$，
则“sinx+cosx≤1”发生的概率P=$\frac{\frac{π}{2}-0}{π-0}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．