Question

9．已知关于x的方程x³+ax²+2bx+c=0的三个实数根分别为一个椭圆、一个抛物线、一个双曲线的离心率，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（-1，-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由圆锥曲线的性质知，不妨设方程x³+ax²+2bx+c=0的三个实数根为x₁=1，0＜x₂＜1，x₃＞1；从而化简x³+ax²+2bx+c=（x-1）（x²+（a+1）x+2b+a+1），从而可得x₂，x₃是x²+（a+1）x+2b+a+1=0的两个根；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{2b+a+1＞0}\\{2b+2a+3＜0}\end{array}\right.$；又由$\frac{b}{a}$的几何意义是原点O与点（a，b）连线的斜率，从而借助线性规划求解．

解答 解：由题意，

不妨设方程x³+ax²+2bx+c=0的三个实数根为x₁=1，0＜x₂＜1，x₃＞1；
则x³+ax²+2bx+c=（x-1）（x²+（a+1）x+2b+a+1），
则x₂，x₃是x²+（a+1）x+2b+a+1=0的两个根；
则x₂+x₃=-（a+1），
x₂x₃=2b+a+1；
又∵0＜x₂＜1，x₃＞1，
∴x₂x₃=2b+a+1＞0，
（x₂-1）（x₃-1）=2b+2a+3＜0；
作$\left\{\begin{array}{l}{2b+a+1＞0}\\{2b+2a+3＜0}\end{array}\right.$表示的平面区域如下，
$\frac{b}{a}$的几何意义是点O与阴影内的点A连线的斜率，
而直线n的斜率k=-1，直线m的斜率k=-$\frac{1}{4}$；
故结合图象可得，
-1＜$\frac{b}{a}$＜-$\frac{1}{4}$；
故答案为：（-1，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质，因式分解及线性规划的应用，因式分解与线性规划比较困难，属于中档题．