Question

4．已知点A（-2，0），B（0，-2），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求tanθ和$\frac{3sinθ-4cosθ}{4cosθ+3sinθ}$的值；
（Ⅱ）若（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=1，其中O为坐标原点，求sinθ•cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系，求得2sinθ=cosθ，进一步化简求得tanθ和$\frac{3sinθ-4cosθ}{4cosθ+3sinθ}$的值．
（Ⅱ）由条件利用两个向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系，求得sinθ+cosθ=-$\frac{1}{4}$，再平方，即可求得sinθ•cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，$\overrightarrow{AC}$=（2sinθ+2，cosθ），$\overrightarrow{BC}$=（2sinθ，cosθ+2），
若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则 （2sinθ+2）²+cos²θ=（2sinθ）²+（cosθ+2）²，化简可得 2sinθ=cosθ，
∴tanθ=$\frac{1}{2}$，$\frac{3sinθ-4cosθ}{4cosθ+3sinθ}$=$\frac{3tanθ-4}{4+3tanθ}$=$\frac{\frac{3}{2}-4}{4+\frac{3}{2}}$=-$\frac{5}{11}$．
（Ⅱ）若（$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{OC}$=（-2，-4）•（2sinθ，cosθ）=-4sinθ-4cosθ=1，
则 sinθ+cosθ=-$\frac{1}{4}$，平方可得 1+2sinθcosθ=$\frac{1}{16}$，∴sinθcosθ=-$\frac{15}{32}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．