Question

19．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）因为$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，所以设$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$=（2λ，λ），再由|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，得到λ．
（2）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直得到数量积为0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再由数量积公式求出向量的夹角θ．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，设$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$=（2λ，λ），则$|\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{5{λ}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，解得λ=±3，
所以$\overrightarrow{c}$=（6，3）或（-6，-3）；
（2）因为|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，所以
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0 即2${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴2×5-2×$\frac{5}{4}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$-\frac{5}{2}$…（10分）
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-1，又θ∈[0，π]，所以θ=π，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为π．

点评 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答