Question

8．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，M为ED中点．现以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可证明AM∥平面BEC；
（2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE；
（3）利用VE-BCD=VD-BCE，求出底面DCB的面积，高DE，即可求三棱锥D-BCE的体积．

解答 解：（1）证明：取EC中点N，M是EC的中点，连接MN，BN．
在△EDC中，∵M，N分别为ED，EC的中点，
∴MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，且MN=AB．         
∴四边形ABNM为平行四边形．
∴BN∥AM．
又∵BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
∴AM∥平面BEC；
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=2．
在△BCD中，BD=BC=2，CD=2，∴BD²+BC²=CD²．
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE；
（3）由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=1，
又∵ED⊥平面ABCD，DE=1，
∴${V}_{E-BCD}={V}_{D-BCE}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•$DE=$\frac{1}{3}$•1•1=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用，是中档题．