Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=-3，则向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$）求得$|\overrightarrow{b}|$，展开$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=-3，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}=2$，
再由$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=-3，得$|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$，即4-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=7$，
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了数量积的几何意义，是中档题．