Question

13．已知$\frac{1+tan（π+α）}{1+tan（2π-α）}$=-3，求cos²（π-α）+sin（$\frac{3π}{2}$+α）•cos（$\frac{π}{2}$+α）+2sin²（α-π）的值．

Answer 1

分析 由$\frac{1+tan（π+α）}{1+tan（2π-α）}$=-3运用诱导公式化简求值可得tanα=2，由诱导公式，倍角公式，万能公式化简所求即可得解．

解答 解：∵$\frac{1+tan（π+α）}{1+tan（2π-α）}$=-3⇒$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=-3⇒1+tanα=-3+3tanα⇒tanα=2，
∴cos²（π-α）+sin（$\frac{3π}{2}$+α）•cos（$\frac{π}{2}$+α）+2sin²（α-π）
=cos²α+cosα•sinα+2sin²α
=1+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2α
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（sin2α-cos2α）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$-$\frac{1}{2}×\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}×\frac{-3}{5}$
=$\frac{11}{5}$．

点评 本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，熟练使用相关公式是解题的关键，属于基本知识的考查．