Question

4．已知函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当-1＜x≤3时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{m\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{1-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$．其中m＞0，若方程3f（x）-x=0恰好有5个根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）
• B． （$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• C． （$\frac{4}{3}$，$\sqrt{7}$）
• D． （　$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）

Answer 1

分析 根据条件求出函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论．

解答 解：由f（x+4）=f（x），得函数f（x）是周期为4的函数，
若方程3f（x）-x=0恰好有5个根，
即方程f（x）-$\frac{x}{3}$=0恰好有5个根，
即f（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5个根，
即函数f（x）与g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5个交点，
作出函数f（x）与g（x）的图象，
当0＜x＜3时，两个函数有3个交点
当x＞0时，设y=g（x）=log₄|x|=log₄x，
则g（3）=log₄3＜1，f（3）=f（1）=1，
g（5）=log₄5＞1，故当x＞0，两个函数有3个交点，
则要使函数f（x）与g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5个交点，
则只需要保证在3＜x＜4时，有两个交点，同时在7＜x＜8时，没有交点即可，
∵f（x+4）=f（x），∴f（x）=f（x-4），
∴当3＜x＜4时，-1＜x-4＜0，此时f（x）=f（x-4）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
当直线y=$\frac{x}{3}$与y=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$相切时，
满足$\frac{x}{3}$=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
平方得（1+9m²）x²-72m²x+135m²=0，
则判别式△=（-72m²）²-4（1+9m²）×135m²=0，
整理得m²=$\frac{15}{9}$，解得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，此时两个函数有4个交点，
当7＜x＜8时，3＜x-4＜4，此时f（x）=f（x-4）=m$\sqrt{1-（x-4-4）^{2}}$=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
当直线y=$\frac{x}{3}$与y=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$相切时，
满足$\frac{x}{3}$=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
平方得（1+9m²）x²-16×9m²x+63×9m²=0，
则判别式△=（-16×9m²）²-4（1+9m²）×63×9m²=0，
整理得m²=7，解得m=$\sqrt{7}$，此时两个函数有6个交点，
故若函数f（x）与g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5个交点，
则实数m的取值范围$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜m＜$\sqrt{7}$，即（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$），
故选：A

点评 本题主要考查函数交点个数的判断，利用条件判断函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键．运算量大，综合性较强难度较大．