Question

17．若实数a，b满足a²+b²≤1，则关于x的方程x²-ax+$\frac{3}{4}$b²=0有实数根的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出方程有解的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论

解答 解：实数a，b满足a²+b²≤1，对应的区域是以1为半径的圆，
关于x的方程x²-ax+$\frac{3}{4}$b²=0有实数根，则判别式△=a²-4×$\frac{3}{4}$b²=a²-3b²≥0，
即（a-$\sqrt{3}$）（a+$\sqrt{3}$）≥0，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则a-$\sqrt{3}$b=0的斜率k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，对应的倾斜角为30°，
a+$\sqrt{3}$b=0的斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，对应的倾斜角为150°，
∴两条直线的夹角为60°，
∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=$\frac{2×60°}{360°}=\frac{1}{3}$；
故选：C

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域是解决本题的关键