Question

19．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CD的中点，
求：（1）直线DE与B₁F所成角的余弦值；
（2）二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可直线DE与B₁F所成角的余弦值；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可二面角C₁-EF-A的余弦值．

解答 解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，点E，F分别是棱BC，CD的中点，
∴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），C₁（2，2，2），D（0，2，0），B₁（2，0，2），
B（2，0，0），C（2，2，0），F（1，2，0），E（2，1，0），
则$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-1，2，-2），
则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（2，-1，0）•（-1，2，-2）=-2-2=-4，
|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}F}$|=$\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}$=3，
则cos＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{{B}_{1}F}$＞=$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{B}_{1}F}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{{B}_{1}F}|}$=$\frac{-4}{3\sqrt{5}}$=-$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
即直线DE与B₁F所成角的余弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{15}$；
（2）设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（0，-1，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-y-2z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{y=-2z}\end{array}\right.$，令z=1，则y=-2，x=-2，即$\overrightarrow{n}$=（-2，-2，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$，
即二面角C₁-EF-A的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题的考点是用空间向量求平面的夹角．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而得到线面的平行关系与垂直关系，也有利于建立坐标系，利用向量解决空间角、空间距离等问题．