Question

7．已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；
请解答以下问题
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+$\sqrt{x}$是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据“闭函数”的定义，结合y=-x³的单调性，列出方程组，求出a、b的值；
（2）根据f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数，得出f（x）在（0，+∞）上不是“闭函数”；
（3）先判断g（x）=k+$\sqrt{x}$在定义域[0，+∞）上的单调性，再根据“闭函数”的定义列出方程组，利用转化思想求出k的取值范围．

解答 解：（1）因为y=-x³在R上是减函数，若在区间[a，b]上是“闭函数”，
则$\left\{\begin{array}{l}-{a^3}=b\\-{b^3}=a\end{array}\right.$，且a＜b，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$；
所以满足条件的区间为[-1，1]；
（2）由f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x∈（0，+∞）得
$f（\frac{1}{2}）=\frac{5}{2}，f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$，
所以f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，不符合“闭函数”定义，
所以f（x）=x+$\frac{1}{x}$在x∈（0，+∞）上不是“闭函数”；
（3）设g（x）=k+$\sqrt{x}$，则g（x）的定义域为[0，+∞），
在[0，+∞）内任取x₁＜x₂，
则$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}$=$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}}$＜0；
所以g（x₁）＜g（x₂），
所以g（x）是增函数．
设符合条件的区间为[a，b]，则有g（a）=a，g（b）=b，
即$\left\{\begin{array}{l}k+\sqrt{a}=a\\ k+\sqrt{b}=b\end{array}\right.$，
所以a、b是方程x-$\sqrt{x}$-k=0的两根；
所以问题转化为h（x）=x²-x-k有两个非负零点，
即方程x²-x-k=0在[0，+∞）内有两个不同实数根；
所以$\left\{\begin{array}{l}△={（-1）^2}-4（-k）＞0\\{x_1}+{x_2}=1＞0\\{x_1}{x_2}=-k≥0\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$＜k≤0，
所以，实数k的取值范围是$（-\frac{1}{4}，0]$．

点评 本题考查了新定义的问题，考查了函数的性质与应用问题，考查了方程思想与转化思想的应用问题，是综合性题目．