Question

12．已知抛物线C：y=x²，过点M（1，1）作两条相互垂直的直线，与抛物线的另两个交点分别为A，B
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）直线AB是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用抛物线C的准线方程求解抛物线的准线方程即可；
（Ⅱ）直线AB是过定点，设出AB坐标，求出AB的方程，利用直线垂直，推出关系式，得到AB的直线系方程，即可求出该定点的坐标；

解答 解：（Ⅰ）由题意抛物线C：y=x²，可知，抛物线的准线方程为：y=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则K_MA=$\frac{{x}_{1}^{2}-1}{{x}_{1}-1}={x}_{1}+1$，K_MB=$\frac{{x}_{2}^{2}-1}{{x}_{2}-1}={x}_{2}+1$，K_AB=$\frac{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}={x}_{2}+{x}_{1}$，
∴直线AB的方程为：y-x₁²=（x₂+x₁）（x-x₁），
即y=（x₂+x₁）x-x₁x₂，…①．
又因为MA⊥MB，则K_AM•K_MB=（x₁+1）（x₂+1）=-1，
即-x₁x₂=2+（x₂+x₁），代入①可得，y-2=（x₂+x₁）（x+1），
于是直线AB过定点R（-1，2）．

点评 本题考查抛物线方程的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．