Question

20．已知函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α为第二象限角，且f（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{5}$，求$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和值域求得f（x）的最小正周期和值域．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα 的值，可得 sinα和 tanα
的值，从而求得$\frac{cos2α}{1-tanα}$的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sinx=cosx+$\sqrt{3}$sinx+1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π，再根据sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得函数f（x）的值域为[-1，3]．
（2）∵α为第二象限角，且f（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{2}$）+1=2cosα+1=-$\frac{1}{5}$，
∴cosα=-$\frac{3}{5}$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{cos2α}{1-tanα}$=$\frac{{2cos}^{2}α-1}{1-tanα}$=$\frac{2×\frac{9}{25}-1}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，正弦函数的周期性和值域，属于基础题．