Question

5．已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n是等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知2a_n=$\frac{1}{2}$+S_n，当n=1时，得a₁=$\frac{1}{2}$；当n≥2时，S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$，两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，知b_n=4-2n，由此利用错位相减法和等比数列的求和公式，能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由题意知2a_n=$\frac{1}{2}$+S_n，
当n=1时，2a₁=a₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$，
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=a₁•2^n-1=2^n-2；
（Ⅱ）由a_n²=2^2n-4=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n}}$，
∴b_n=4-2n，
∴c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$+（-1）ⁿa_n=$\frac{2-n}{{2}^{n-3}}$+（-1）ⁿ•2^n-2．
由T'_n=$\frac{2-1}{{2}^{-2}}$+$\frac{2-2}{{2}^{-1}}$+$\frac{2-3}{{2}^{0}}$+…+$\frac{2-n}{{2}^{n-3}}$，
$\frac{1}{2}$T'_n=$\frac{2-1}{{2}^{-1}}$+$\frac{2-2}{{2}^{0}}$+$\frac{2-3}{{2}^{1}}$+…+$\frac{2-n}{{2}^{n-2}}$，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T'_n=4-（2+1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$）-$\frac{2-n}{{2}^{n-2}}$，
$\frac{1}{2}$T'_n=4-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2-n}{{2}^{n-2}}$，
化简可得T'_n=$\frac{n}{{2}^{n-3}}$，
即有T_n=T'_n-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{n}{{2}^{n-3}}$-$\frac{1-（-2）^{n}}{6}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．