Question

13．如图，F是抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：
①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB（AB≥2P）过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①设A的坐标，求出圆心坐标，可得圆心到y轴的距离，圆的半径，即可判断以线段FA为直径的圆与y轴相切；
②利用抛物线的定义得出|AF|=|x+$\frac{p}{2}$|，从而可得当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值；
④设点A、B、C的横坐标，利用|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，根据抛物线的定义，即可得到结论．

解答 解：①由已知抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点F（-$\frac{p}{2}$，0），设A（x₁，y₁），则圆心坐标为（$\frac{2{x}_{1}-p}{4}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
∴圆心到y轴的距离为$\frac{p-2{x}_{1}}{4}$，圆的半径为$\frac{|FA|}{2}$$\frac{p-2{x}_{1}}{4}$，∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．故①正确；
②设A（x，y），则|AF|=|x+$\frac{p}{2}$|，∴x=0时，即当点A为坐标原点时，|AF|为最短，②正确；
③设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；
④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．
综上知，正确结论的个数是3个
故选：C．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆的位置关系及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．