Question

4．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90°，以点B为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AC边上，且这个椭圆过A、C两点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 通过记另一个焦点为D，易得△ABD也是直角三角形，利用勾股定理及椭圆定义可得a=3、c=$\sqrt{5}$，进而可得结论．

解答 解：如图，记另一个焦点为D，则△ABD也是直角三角形．
∵AB=4，AC=3，∠CAB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
由椭圆定义可知：AB+AD=CB+CD=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）=$\frac{1}{2}（3+4+5）$=6，
∴椭圆的长轴长2a=6，∴a=3，
设椭圆的焦距为2c，即BD=2c，
由椭圆定义可知：AD=2a-AB=6-4=2，
又∵AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2c）^{2}-{4}^{2}}$，
∴2=$\sqrt{（2c）^{2}-{4}^{2}}$，解得c=$\sqrt{5}$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．