Question

19．已知函数f（x）=f（4x），当x∈[1，4）时，f（x）=lnx，若区间[1，16）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{1}{4e}$）
• C． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{ln2}{4}$）

Answer 1

分析 化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$，作函数的图象，结合函数图象可得．

解答 解：∵f（x）=f（4x），且当x∈[1，4）时，f（x）=lnx；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$；
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$与函数y=ax的图象如下，

结合图象可知，
当直线y=ax与f（x）=ln$\frac{x}{4}$相切时，
即$\frac{ln\frac{x}{4}}{x}$=$\frac{1}{x}$，
从而可得x=4e；
a=$\frac{1}{4e}$；
当过点（16，ln4）时，
a=$\frac{ln4}{16}$=$\frac{ln2}{8}$；
结合图象可得，
$\frac{ln2}{8}$＜a＜$\frac{1}{4e}$；
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．