Question

7．已知函数f（x）=ax²-2x+lnx+1．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=mx²+4mx+3，当a=1时，不等式f（x₁）≤g（x₂），x₁∈（0，1]，x₂∈（-∞，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2x+1}{x}$，根据题意便可得到2ax²-2x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，并且容易得出a≠0，从而分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，从而便可得到实数a的取值范围；
（2）根据题意知，f（x）在（0，1]上的最大值小于等于g（x）在（-∞，+∞）上的最小值：根据f′（x）的导数可以判断f（x）在（0，1]上单调递增，从而得出f（x）在该区间的最大值为0；然后就要求g（x）的最大值，m=0时显然成立，m≠0时，便可看出m＞0，g（x）的最小值便为3-4m，从而0≤3-4m，解该不等式所得m的范围并上m=0即可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2x+1}{x}$；
∵f（x）在其定义域内单调递增；
∴2ax²-2x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立；
a=0时显然不成立；
∴a≠0；
设h（x）=2ax²-2x+1；
①若△=4-8a≤0，即$a≥\frac{1}{2}$，则h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
②若△=4-8a＞0，即$a＜\frac{1}{2}$，且a≠0，要使h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
则a需满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＜0}\\{h（0）=1＞0}\end{array}\right.$；
∴a＜0；
综上得实数a的取值范围为（-∞，0）$∪[\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）a=1时，f（x）=x²-2x+lnx+1，f′（x）=$2x-2+\frac{1}{x}=\frac{2{x}^{2}-2x+1}{x}$；
∵2x²-2x+1＞0恒成立；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1]上单调递增；
∴f（x）在（0，1]上的最大值为f（1）=0；
①m=0时，g（x）=3，满足f（x₁）≤g（x₁）；
②m≠0时，根据题意知g（x）在（-∞，+∞）上有最小值；
∴m＞0，且最小值为$\frac{12m-16{m}^{2}}{4m}=3-4m$；
∴0≤3-4m；
解得$m≤\frac{3}{4}$，即0$＜m≤\frac{3}{4}$；
综上得实数m的取值范围为[0，$\frac{3}{4}$]．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，二次函数的取值和判别式△的关系，根据函数的单调性求函数的最大值，知道二次函数在（-∞，+∞）上若存在最小值，二次项系数需大于0，并能求出该最小值．