Question

18．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，-1≤x＜0}\\{\frac{bx+2}{x+1}，0≤x≤1}\end{array}\right.$，其中a，b∈R，若f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），则3a+2b=-2．

Answer 1

分析 根据函数的周期性将以f（$\frac{3}{2}$）转为f（-$\frac{1}{2}$），根据已知的函数的解析式化简已知的方程，即可求出3a+2b的值．

解答 解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，
所以f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$-2）=f（-$\frac{1}{2}$），
因为f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），所以f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
因为在区间[-1，1]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，-1≤x＜0}\\{\frac{bx+2}{x+1}，0≤x≤1}\end{array}\right.$，
所以$\frac{b×\frac{1}{2}+2}{\frac{1}{2}+1}=a（-\frac{1}{2}）+1$，化简得3a+2b=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查了函数周期性的应用，以及分段函数求值，属于基础题．