Question

8．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面 ADD₁A₁．
（Ⅰ）证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）求二面角A-C₁E-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AD₁，则D₁C₁∥DC∥AB，证明四边形AEC₁D₁为平行四边形，即可证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面DEC₁的法向量、平面AEC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-C₁E-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AD₁，则D₁C₁∥DC∥AB，∴A、E、C₁、D₁四点共面，
∵C₁E∥平面ADD₁A₁，则C₁E∥AD₁，
∴四边形AEC₁D₁为平行四边形，
∴AE=D₁C₁=1，
∴E为AB的中点．（6分）
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（2，0，0），
 E（2，1，0），C₁（0，1，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，1，0），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，1，2），
设平面DEC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+2z=0\end{array}$，
令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-2，1）．
设平面AEC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+b+2c=0\end{array}$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故二面角A-C₁E-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的性质，考查二面角A-C₁E-D的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．