Question

18．已知圆C的方程为x²-y²-2x-4y+m=0
（1）若圆C的半径为2，求m的值
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）配方可化圆的方程为标准方程（x-1）²+（y-2）²=5-m，由题意可得5-m=4，解方程可得；
（2）易得l到圆心（1，2）的距离d，$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由弦长公式可得m的方程，解方程可得．

解答 解：（1）化圆的方程为标准方程可得（x-1）²+（y-2）²=5-m，
若圆C的半径为2，则5-m=4，解得m的值为1；
（2）由点到直线的距离公式可得l到圆心（1，2）的距离d=$\frac{|1+2×2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$可得$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由弦长公式可得5-m=（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²，
解方程可得m=4．

点评 本题考查圆的一般方程，化为标准方程是解决问题的关键，属基础题．