Question

6．已知函数f（x）=x-lnax，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，其中a≠0，a∈R，e为自然常数．
（1）讨论f（x）的单调性和极值；
（2）当a=1时，求使不等式f（x）＞mg（x）恒成立的实数m单位取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调性、极值问题；
（2）将a=1代入，求出函数f（x）的表达式，函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论m的范围，得到不等式解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x-lnax，a≠0，a∈R，
∴a＞0时，f（x）的定义域为（0，+∞），a＜0时，f（x）的定义域为（-∞，0），
又f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴a＞0时，x＞0，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
f（x）有极限值f（1）=1-lna，
a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）单调递增，无极值；
（2）当a=1时，f（x）=x-lnx，
由（1）得当且仅当x=1时，f（x）_min=1，
∵g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＞0，
∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
当且仅当x=1时，g（x）_max=$\frac{1}{e}$，
当m≤0时，由于g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＞0，f（x）_min=1，
∴f（x）＞mg（x）恒成立；
m＞0时，[mg（x）]_max=$\frac{m}{e}$，要使不等式f（x）＞mg（x）恒成立，
只需1＞$\frac{m}{e}$，即m＜e，
综上，m的范围是（-∞，e）．

点评 本题考察了函数的单调性、最值问题，考察了导数的应用，第二问中求出函数的单调区间和最值是解答本题的关键，本题属于中档题．