Question

3．“a=1”是“直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：若直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点，
则直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象相切，
函数y=ln（x+a）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+a}$，
设切点坐标为（m，n），则切线斜率k=f′（m）=$\frac{1}{m+a}$，f（m）=ln（m+a）
则切线方程为y-ln（m+a）=$\frac{1}{m+a}$（x-m），
即y=$\frac{1}{m+a}$•x+ln（m+a）-$\frac{m}{m+a}$，
即$\frac{1}{m+a}$=1，ln（m+a）-$\frac{m}{m+a}$=0，
即m+a=1，m=0，则a=1，
当a=1时，直线y=x与函数y=ln（x+1）相切只有一个交点，
故“a=1”是“直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点”的充分条件和必要条件，
故选：C．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件以及导数的几何意义，将问题转化为求函数的切线方程是解决本题的关键．