Question

11．若曲线y=e^x-$\frac{a}{e^x}$（a＞0）上任意一点切线的倾斜角的取值范围是[${\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}}$），则a=（　　）

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 求导f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$，从而由f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$≥$\sqrt{3}$，求解．

解答 解：f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$，
∵f（x）=e^x-$\frac{a}{e^x}$在任一点处的切线的倾斜角的取值范围是[${\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}}$），
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$≥$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$≤[f′（x）]_min，
而由a＞0知，e^x+$\frac{a}{e^x}$≥2$\sqrt{a}$；
（当且仅当e^x=$\frac{a}{e^x}$时，等号成立），
故2$\sqrt{a}$=$\sqrt{3}$，故a=$\frac{3}{4}$
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．