Question

2．已知实数x，y，z满足2x+y+3z=32，则$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y+2）}^2}+{z^2}}$的最小值为$\frac{16\sqrt{14}}{7}$．

Answer 1

分析 由条件利用柯西不等式（2²+1²+3²）[（x-1）²+（y+2）²+z²]≥（2x-2+y+2+3z）²=32²，求得$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y+2）}^2}+{z^2}}$的最小值．

解答 解：1²+2²+3²=14，∴由柯西不等式可得（2²+1²+3²）[（x-1）²+（y+2）²+z²]≥（2x-2+y+2+3z）²=32²，
∴$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y+2）}^2}+{z^2}}$≥$\frac{16\sqrt{14}}{7}$，即$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y+2）}^2}+{z^2}}$的最小值是$\frac{16\sqrt{14}}{7}$，
故答案为：$\frac{16\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（2²+1²+3²）[（x-1）²+（y+2）²+z²]≥（2x-2+y+2+3z）²=32²，进行解决．