Question

9．设 P是双曲线C：$\frac{x^2}{4}$-y²=1上的任意一点，点 P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d₁、d₂，则d₁•d₂=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d₁•d₂的值．

解答 解：由条件可知：两条渐近线分别为x±2y=0
设双曲线C上的点P（x，y），
则点P到两条渐近线的距离分别为d₁=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$，d₂=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$
所以d₁•d₂=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$•$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}^{2}-4{y}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，求出点P到两条渐近线的距离是关键，属于中档题．