Question

11．若e^x＞ln（x+m）（其中x∈R且x＞-m），证明：m＜$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分离参数得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，构造函数，F（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，求最小值，从而结论得证．

解答 证明：因为e^x＞ln（x+m）恒成立，
分离参数得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，
构造函数，F（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，
令F'（x）=${e}^{{e}^{x}+x}$-1=0得，e^x+x=0，
记g（x）=e^x+x，单调递增，设该函数的零点为x₀，
因为g（-1）＜0，g（-$\frac{1}{2}$）＞0，所以x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
因此F（x）_min=F（x）_极小值=F（x₀）=-（x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$）＜-（-$\frac{1}{2}$-2）=$\frac{5}{2}$，
上式化简用到：①x₀满足方程e^x+x=0，②x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），③双勾函数单调性．
所以m＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．