Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

分析 （I）通过将点P代入椭圆方程并利用离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算即得结论；
（II）通过对直线的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，通过将直线方程代入向量数量积的坐标运算中，计算即得结论．

解答 （I）解：由$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=3\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，
所以椭圆C的方程是：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意．
（2）不妨设直线l的方程为 x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}x=ky+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去x得（k²+4）y²+2kmy+m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有${y_1}+{y_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$…①，${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$．…②
∵以AB为直径的圆过点M，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
由$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-2，{y_1}），\overrightarrow{MB}=（{x_2}-2，{y_2}）$，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得$（{k^2}+1）{y_1}{y_2}+k（m-2）（{y_1}+{y_2}）+{（m-2）^2}=0$．…③
将①②代入③，得 $\frac{{5{m^2}-16m+12=0}}{{{k^2}+4}}$，
解得$m=\frac{6}{5}$或m=2（舍）．
综上，直线l经过定点$（\frac{6}{5}，0）$．
（方法二）（1）当k不存在时，易得此直线恒过点$（\frac{6}{5}，0）$．
（2）当k存在时．设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，可得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=16（4k²-m²+1）＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$…①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．…②
由题意可知$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-2，{y_1}），\;\;\overrightarrow{MB}=（{x_2}-2，{y_2}）$，y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m．
可得 （x₁-2）•（x₂-2）+y₁y₂=0．
整理得 $（km-2）（{x_1}+{x_2}）+（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+4+{m^2}=0$…③
把①②代入③整理得：$\frac{{12{k^2}+16km+5{m^2}}}{{4{k^2}+1}}=0$，
由题意可知  12k²+16km+5m²=0，
解得 $m=-2k，m=-\frac{6}{5}k$．
（i） 当m=-2k时，即y=k（x-2），直线过定点（2，0）不符合题意，舍掉．
（ii） $m=-\frac{6}{5}k时$，即$y=k（x-\frac{6}{5}）$，直线过定点$（\frac{6}{5}，0）$，经检验符合题意．
综上所述，直线l过定点$（\frac{6}{5}，0）$．

点评 本题是一道直线圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程、直线过定点问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．