Question

9．已知函数f（x）=ax²+x+a，不等式f（x）＜5的解集为（-$\frac{3}{2}$，1）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞mx在x∈（0，5]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知不等式f（x）＜5的解集为（-$\frac{3}{2}$，1），得到对应的方程的解，从而求a．
（Ⅱ）由f（x）＞mx在x∈（0，5]上恒成立，即 2x²+（1-m）x+2＞0在（0，5]上恒成立，只要2x²+（1-m）x+2在∈（0，5]上的最小值大于零即可，分类讨论求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+x+a＜5的解集为（-$\frac{3}{2}$，1），即ax²+x+a-5＜0 的解集为（-$\frac{3}{2}$，1），
故有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{a}}\\{-\frac{3}{2}×1=\frac{a-5}{a}}\end{array}\right.$，求得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2x²+x+2，故f（x）＞mx在x∈（0，5]上恒成立，即 2x²+（1-m）x+2＞0恒成立．
令h（x）=2x²+（1-m）x+2，则h（x）＞0在（0，5]上恒成立，故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{4}≤0}\\{h（0）=2＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{m-1}{4}≤5}\\{h（\frac{m-1}{4}）=\frac{{（m-1）}^{2}-16}{8}＞0}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{4}＞5}\\{h（5）=52+5（1-m）＞0}\end{array}\right.$③．
解①求得m≤1，解②求得5＜m≤21，解③求得m∈∅，
综上可得，m的范为{m|m≤1，或 5＜m≤21}．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及函数恒成立问题，同时考查了计算能力和转化的思想，属于基础题．