Question

19．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，na_n+1=（n+2）S_n+n（n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{${\frac{S_n}{n}$+1}为等比数列；
（Ⅱ）求 T_n=S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由na_n+1=（n+2）S_n+n（n+1），得n（S_n+1-S_n）=（n+2）S_n+n（n+1），变形可得$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$+1=2（$\frac{Sn}{n}$+1），即数列{$\frac{Sn}{n}$+1}为等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得S_n=n•2ⁿ-n，然后利用数列的分组求和及错位相减法求和得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，由na_n+1=（n+2）S_n+n（n+1），得n（S_n+1-S_n）=（n+2）S_n+n（n+1），
即nS_n+1=2（n+1）S_n+n（n+1），则$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2×$\frac{Sn}{n}$+1，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$+1=2（$\frac{Sn}{n}$+1），
故数列{$\frac{Sn}{n}$+1}为等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知$\frac{Sn}{n}$+1=（$\frac{S1}{1}$+1）•2^n-1=2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ-n，
则T_n=（1•2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n），
设M=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
则2M=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴-M=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴M=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
则T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．