Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x≤2}\\{-|x-3|，x＞2}\end{array}\right.$，若方程f（x）=ax+1有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{3}$）
• B． （-1，-$\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，-1）∪[-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 可化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x≤2}\\{-|x-3|，x＞2}\end{array}\right.$与函数g（x）=ax+1有三个不同的交点，作图象求解．

解答 解：∵方程f（x）=ax+1有三个不同的实数根，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x≤2}\\{-|x-3|，x＞2}\end{array}\right.$与函数g（x）=ax+1有三个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，0＜x≤2}\\{-|x-3|，x＞2}\end{array}\right.$与函数g（x）=ax+1的图象如下，
直线m的斜率k=-$\frac{1}{3}$，直线n的斜率k=-1；
结合图象可得，
实数a的取值范围是（-1，-$\frac{1}{3}$）；
故选A．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．