Question

3．已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），我们把使乘积a₁，a₂，a₃，…a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（15，2015）内的所有劣数的和为2004．

Answer 1

分析 利用对数的换底公式可得：a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log₂（n+2），要使log₂（n+2）为整数，则n+2必须为2^k（k∈N^*）形式的数，即可得出．

解答 解：a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log₂（n+2），
要使log₂（n+2）为整数，则n+2必须为2^k（k∈N^*）形式的数，
∴在区间（15，2015）内的所有劣数为30，62，126，254，510，1022，
其和=30+62+126+254+510+1022=2004，
故答案为：2004．

点评 本题考查了对数的换底公式、2^k（k∈N^*）形式的数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．