Question

11．已知动圆过定点F（1，0）且与直线?₁：x=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线?：y=-$\frac{1}{2}$x+b与轨迹C交于A，B两点，若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的定义知，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线，所以动圆圆心的轨迹为抛物线，再用求抛物线方程的方法求出轨迹C的方程即可．
（Ⅱ）联立直线y=-$\frac{1}{2}$x+b与y²=4x得y²+8y-8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵动圆过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，
∴曲线C是以点A为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x．
（Ⅱ）联立直线y=-$\frac{1}{2}$x+b与y²=4x得：y²+8y-8b=0．
依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设圆心Q（x₀，y₀），则应有x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-4．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y₀|=4，
又|AB|=$\sqrt{5}$|y₁-y₂|=$\sqrt{5（64+32b）}$．
所以|AB|=2r，
即$\sqrt{5（64+32b）}$=8，
解得b=-$\frac{8}{5}$．
所以x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2b+8=$\frac{24}{5}$，
所以圆心为（$\frac{24}{5}$，-4）．
故所求圆的方程为（x-$\frac{24}{5}$）²+（y+4）²=16．

点评 本题主要考查抛物线方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程的求法，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．