Question

6．已知$\vec a$、$\vec b$是单位向量，其夹角为120°，若实数x、y满足|x$\vec a$+y$\vec b}$|=$\sqrt{6}$，则x²+y²的取值范围是[4，12]．

Answer 1

分析 利用向量的模长公式，化简|x$\vec a$+y$\vec b}$|=$\sqrt{6}$，可得x²+y²-xy=6，再利用基本不等式，即可求出x²+y²的取值范围．

解答 解：∵$\vec a$、$\vec b$是单位向量，其夹角为120°，实数x、y满足|x$\vec a$+y$\vec b}$|=$\sqrt{6}$，∴x²+y²-xy=6，
∴x²+y²-6=xy，
∴-$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≤x²+y²-6$≤\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$，
∴4≤x²+y²≤12，
∴x²+y²的取值范围是[4，12]；
故答案为：[4，12]．

点评 本题考查向量的模长公式的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．