Question

15．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+b在x=0处的切线方程为y=-2x+4．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）证明：?x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞-2成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）：?x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞-2，即为$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-（f（{x}_{2}）+2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，只需证明y=f（x）+2x在R上递增．求出导数，求得单调区间和极值、最值，运用单调性即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+b的导数为f′（x）=e^x-x-a，
由题意可得，在x=0处的切线的斜率为e⁰-0-a=-2，
解得a=3，
由切点（0，4），可得e⁰-0-0+b=4，
可得b=3，
即有f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-3x+3；
（2）证明：?x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞-2，
即为$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-（f（{x}_{2}）+2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，只需证明y=f（x）+2x在R上递增．
由y=f（x）+2x=e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-x+3的导数为y′=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）递增．
即有x=0处g（x）取得最小值，且为0，
即有g（x）＞0，
即为函数y=f（x）+2x的导数大于0恒成立，
则有y=f（x）+2x在R上递增．
则有?x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞-2成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和构造函数，运用单调性，考查运算能力，属于中档题．