Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在一点P，使得∠F₁PF₂=120°，则椭圆的离心率e的取值（　　）

• A． [${\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 先根据椭圆定义得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理，求出x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．

解答 解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos120°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{（a+e{x}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得 x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$．
∵x₁²∈[0，a²]，
∴0≤$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$≤a²，
即4c²-3a²≥0．且e²＜1，
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故椭圆离心率的取范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
故选A．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．