Question

20．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（-$\frac{1}{2}$，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BD}$=μ$\overrightarrow{BN}$，且λ+μ=-4，求抛物线C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用离心率计算公式、以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），直线与抛物线C切点为N（x₀，ax₀²）．利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线方程，即可得到切点N，进一步简化切线方程，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BD}$=μ$\overrightarrow{BN}$，且λ+μ=-4，即可得到a及抛物线C的标准方程．

解答 解：（1）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
即a=$\sqrt{2}$b…（1分）
又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，…（2分）
∴a=$\sqrt{2}$，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）设抛物线C的方程为y=ax²（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x₀，ax₀²）
∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax₀，
∴切线方程为y-ax₀²=2ax₀（x-x₀），
∵直线l过点M（-$\frac{1}{2}$，0），
∴-ax₀²=2ax₀（-$\frac{1}{2}$-x₀），
∵点N在第二象限，∴x₀＜0，
解得x₀=-1．∴N（-1，a）．
∴直线l的方程为y=-2ax-a…（8分）
代入椭圆方程整理得（1+8a²）x²+8a²x+2a²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=-$\frac{8{a}^{2}}{1+8{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{a}^{2}-2}{1+8{a}^{2}}$…（10分）
由$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BD}$=μ$\overrightarrow{BN}$，
得λ=$\frac{{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$，μ=$\frac{{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$
∴λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$\frac{-4-4{a}^{2}}{2{a}^{2}-1}$=-4，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{2}$
∴抛物线的标准方程为x²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y…（13分）

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线与抛物线相切问题、导数的几何意义、向量的运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．