Question

10．定义：已知I时函数f（x）和g（x）的公共定义域，若存在开区间D⊆I，使函数f（x）和g（x）在D上都是单调递增函数或者是单调递减函数，并且他们的导函数f′（x）和g′（x）在D上也具有相同的单调性，则函数f（x）和g（x）在I上互为“保势函数”．若函数f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互为“保势函数”，则实数a的取值范围是（0，3]．

Answer 1

分析 若函数f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互为“保势函数”，则f′（x）和g′（x）在R⁺上也具有相同的单调性，函数f（x）和g（x）在R⁺上单调性一致，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：若函数f（x）=ax+lnx和g（x）=3x-e^ax在R⁺上互为“保势函数”，
则f′（x）和g′（x）在R⁺上也具有相同的单调性，
函数f（x）和g（x）在R⁺上单调性一致，
∵f′（x）=a+$\frac{1}{x}$在R⁺上为减函数，
∴g′（x）=3-ae^ax在R⁺上为减函数，
故a＞0，
则f′（x）=a+$\frac{1}{x}$＞0在R⁺上恒成立，即f（x）在R⁺上单调递增，
则g（x）在R⁺上也单调递增，
故g′（x）=3-ae^ax≥0在R⁺上恒成立，
又由g″（x）=-a²e^ax＜0在R⁺上恒成立，
故g′（0）=3-a≥0，
解得：a≤3，
综上实数a的取值范围是（0，3]，
故答案为：（0，3]

点评 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，正确理解互为“保势函数”的概念是解答的关键．