Question

19．在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，点P_n位于函数y=3x+$\frac{13}{4}$的图象上，且P_n的横坐标构成以-$\frac{5}{2}$为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线C_n的顶点为P_n且过点D_n（0，n²+1），记过点D_n且与抛物线C_n相切的直线
的斜率为k_n，求证：$\frac{1}{k{{{\;}_{1}k}_{2}}_{\;}}$+$\frac{1}{{k}_{2}{k}_{3}}$+…+$\frac{1}{{{k}_{n-1}}_{\;}{k}_{n}}$＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 （1）写出等差数列{x_n}的通项公式，利用P_n（x_n，y_n）位于函数$y=3x+\frac{13}{4}$的图象上，即可求解点P_n的坐标．
（2）设抛物线C_n的方程为：$y=a{（x-{x_n}）^2}+{y_n}$，利用导数求出过点D_n且与抛物线C_n相切的直线方程，化简$\frac{1}{{{k}_{n-1}}_{\;}{k}_{n}}$，利用列项求和求解即可．

解答 解：（1）∵P_n的横坐标构成以$-\frac{5}{2}$为首项，-1为公差的等差数列{x_n}，
∴${x_n}={x_1}+（n-1）d=-\frac{5}{2}-（n-1）=-n-\frac{3}{2}$，---------------------------------（2分）
∵P_n（x_n，y_n）位于函数$y=3x+\frac{13}{4}$的图象上，
∴${y_n}=3{x_n}+\frac{13}{4}=3（-n-\frac{3}{2}）+\frac{13}{4}=-3n-\frac{5}{4}$，---------------------------------------（3分）
∴点P_n的坐标为${P_n}（-n-\frac{3}{2}，-3n-\frac{5}{4}）$------------------------------（4分）
（2）据题意可设抛物线C_n的方程为：$y=a{（x-{x_n}）^2}+{y_n}$，
即$y=a{（x+n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}$，----------------------（5分）
∵抛物线C_n过点${D_n}（0，{n^2}+1）$，
∴${n^2}+1=a{（n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}=a{n^2}+（3a-3）n+\frac{9a}{4}-\frac{5}{4}$，
∴a=1，∴$y={（x+n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}$，-----------------------------（6分）
∵过点D_n且与抛物线C_n相切的直线即为以D_n为切点的切线，
∴${k_n}={\left.{y^'}\right|_{x=0}}={\left.{2（x+n+\frac{3}{2}）}\right|_{x=0}}=2n+3$，-----------------------------------（7分）
∴$\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$（n≥2）-----------------------------（8分）
∴$\frac{1}{{{k_1}{k_2}}}+\frac{1}{{{k_2}{k_3}}}+…+\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）$---------------------------------（9分）
∴$\frac{1}{{{k_1}{k_2}}}+\frac{1}{{{k_2}{k_3}}}+…+\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）＜\frac{1}{10}$---------------------------（10分）

点评 本题考查数列与解析几何结合题目，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．